Почему это важно: грязь и реагенты - главные враги металла. Своевременная мойка предотвращает коррозию на 80%.

Сцепное устройство: смазка. Перед каждым присоединением прицепа наносите специальную смазку на фаркоп. Это снижает износ механизма и предотвращает заклинивание. 
Проверка: раз в сезон измеряйте диаметр сцепного шара штангенциркулем. Номинал — 50 мм. Если износ более 1 мм — пора заменить. 

Колёса и подвеска: контроль. Давление в шинах проверяйте перед каждой поездкой (норма указана на боковине шины). Визуальный осмотр: трещины, грыжи, неравномерный износ — повод для замены. 
Ступичные подшипники: смазывайте раз в год или каждые 10 000 км. Если прицеп долго стоит — поднимите его на подставки, чтобы снять нагрузку с шин.

Электрика: свет в порядке.  Перед выездом обязательно всегда проверка:  Габариты, стоп-сигналы, поворотники. Целостность  проводки и разъёма. Надёжность крепления фонарей. 
Используйте силиконовую смазку для контактов — она отталкивает влагу и предотвращает окисление.

Антикоррозийная защита: профилактика.  Даже если прицеп оцинкован: Раз в год осматривайте сварные швы и крепления на предмет сколов. Мелкие повреждения сразу обрабатывайте антикором. На зиму полезно нанести консервационную смазку на металлические поверхности.
Важно: не используйте агрессивные растворители — они могут повредить заводское покрытие.

Хранение   Идеально - сухое проветриваемое помещение. Если на улице - дышащий чехол (не полиэтилен). Перед длительной стоянкой: вымойте, высушите, смажьте подвижные части.
Бонус: снимите нагрузку с рессор/пружин, если прицеп не используется более месяца.